Contenidos estudiados de álgebra

En esta ocasión traigo un pequeño repaso de todo lo que hemos aprendido de álgebra:

   Índice:
    -Monomios: definición y resolución de ejercicios sencillos.
    -Polinomios: operaciones,identidades notables, ruffini, teorema del resto y factorización.
    -Ecuaciones: segundo grado,incompletas ,completas ,bicuadradas ,irracionales y sistemas.
    -Inecuaciones.
    

Monomios: son las expresiones más sencillas y están formadas por una parte numérica llamada coeficiente (cuando es 1 se suprime) y una parte literal formada por una letra elevada a un exponente natural (o el producto de varias de estas potencias). De esta forma, las dos expresiones anteriores se corresponden a monomios.

Así por ejemplo, en el monomio 15x2 , el coeficiente es 15 y la parte literal es x2 .

En el monomio x3, el coeficiente es 1 y la parte literal es x3 .

También se considerará como un monomio a aquel que sólo tiene parte numérica. De esta forma, 8 por ejemplo, sería un monomio. Cuando forma parte de otra expresión más compleja, como por ejemplo 2x + 8 , diremos que es el término independiente.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal:

      -   8x2 , -5x2 , x2 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literalx2)

      -   3xy4, -2xy4 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literal xy4 )

      -   x2  y 7x3 , no son semejantes ya que en el primero su parte literal es x2 y en el otro x3 (son diferentes).

     Aquí les dejo unos ejercicios como ejemplos.
         

Polinomios

Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios.

Para calcular la suma de los polinomios:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5

+ --- 5x3 --- x2 +2x

_____________________

4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.

Para dividir polinomios:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado:

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente

- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante

- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial

- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor.

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplican los términos del primero por cada uno de los del segundo y se reducen los términos semejantes.

R(x) = 5x3 + x - 1

S(x) = 2x2 - 1

R(x) · S(x) = (5x3 + x - 1) · (2x2 - 1) =

=(5x3) · (2x2) + (5x3) · (-1) + (x) · (2x2) + (x) · (-1) + (-1) · (2x2) + (-1) · (-1) =

=10x5 - 5x3 + 2x3 - x - 2x2 + 1 = 10x5 - 3x3 - 2x2 - x + 1

Identidades notables 

Las identidades notables son varias expresiones algebraicas

Binomio al cuadrado

El binomio al cuadrado es una de las identidades notables más típicas y que a pesar de ello, muchas veces se resuelve mal.

Estas son las fórmulas que hay que aplicar para resolver una identidad notable de un binomio al cuadrado:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Los términos que se elevan al cuadrado siempre van con un signo positivo mientras que el término que es igual al doble del primero por el segundo tendrá un signo que será positivo o negativo dependiendo del que haya en la identidad notable.
Ejercicios resueltos:

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4

(x – 2)2 = x2 – 4x + 4

Suma por diferencia

Cuando aprendemos la identidad notable de la suma por diferencia nos enseñan que es igual a la diferencia de cuadrados. Esto se resume en la siguiente fórmula:

(a + b) (a − b) = a2 − b2

Lo siguiente es ruffini.

El método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio y además permite localizar las raíces de un polinomio para factor izarlo en binomios.
En otras palabras esta técnica posibilita dividir o descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico, y luego en otro polinomio algebraico de grado n-1. Y para que esto sea posible se necesita saber o conocer por lo menos una de las raíces del polinomio único, con el propósito de que la separación sea exacta.

Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

           Teorema del resto:

Teorema del Resto: El resto de dividir el polinomio P(x) entre el monomio a x − es igual al valor numérico del polinomio para a x = , es decir P(a). 

Para factorizar polinomios, he decidido no dejar explicación, sino publicar los siguientes vídeos:

Ahora viene el apartado que más me cuesta de todos, las ecuaciones.

En matemática se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

-Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, seguimos los siguientes pasos:

-Quitar paréntesis (si los hubiese)

-Quitar denominadores (si los hubiese)

-Transposición de términos: colocar los términos con incógnita en un miembro y los que no tienen incógnita en el otro miembro (para ello usamos la Regla de la suma)

-Agrupar términos: Sumamos en cada miembro los términos semejantes (ver Suma de monomios)

-Despejar la incógnita: para ello usamos la Regla del producto

-simplificar el resultado: en la mayoría de ocasiones deberemos simplificar la fracción resultante

Ejemplos:

Ecuaciones de segundo grado:

-Ecuación Completa: se dice que una ecuación de segundo grado del tipo  es completa cuando los coeficientes b y c  son distintos de 0.

-Ecuación Incompleta: se dice que una ecuación de segundo grado del tipo  es incompleta cuando alguno                                                                                                      de los coeficientes b y c  son iguales a  0.          

-Las ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que faltan las constantes b o c o incluso las dos, es decir, que son igual a 0. Tenemos 3 tipos:

Cuando b=0: ecuacion de segundo grado incompleta 2

Cuando c=0:ecuacion de segundo grado incompleta 1

Cuando b = 0 y c = 0:ecuacion de segundo grado incompleta 3

Aquí les dejo una ilustración para que quede más claro:

Y ahora las completas:

Ecuaciones bicuadradas (de las más sencillas para mí).

Por ecuaciones bicuadradas nos referimos a las ecuaciones de grado 4 que tienen la siguiente forma:

ax^4+bx^2+c = 0

Para resolver este tipo de ecuaciones, vamos a hacer un cambio de variable:

t=x^2

Y sustituimos cada x^2 por una t quedando la ecuación de la siguiente forma:

at^2+bt+c=0

Se resuelve mediante la fórmula de las ecuaciones de segundo grado obteniendo dos soluciones que llamaremos t_1 y t_2,estas ecuaciones son casi iguales que las de segundo grado con la diferencia que hay que cambiar la variable.

Con radicales (no las controlo en estos momentos).

Aquí les dejo una información muy bien explicada (para mí) de como resolverlas:

Método de Resolución

Vamos a explicar el método de resolución a través de un ejemplo:

$$\sqrt{x-1}-1=0$$

1. Reordenamos la ecuación: aislamos la raíz en uno de los lados:
   
   $$\sqrt{x-1}=1$$
2. Elevamos ambos lados al orden de la raíz. Si la raíz es cuadrada, elevamos a 2; si es cúbica, elevamos a 3; si es de orden 4, elevamos a 4...
   
   $$(\sqrt{x-1}{)}^2=1^2$$
3. Desarrollamos las potencias. En nuestro ejemplo, el signo radical desaparece y el cuadrado de 1 es 1:
   
   $$x-1=1$$
4. Si quedan raíces, vamos de nuevo al primer paso. Si no quedan raíces, resolvemos la ecuación:
   
   $$x-1=1$$
   $$x=1+1$$
   $$x=2$$
5. Comprobamos que todos los radicandos son positivos para las soluciones obtenidas:
   Nuestro radicando es
   
   $$x-1$$
   Sustituimos x = 2 :
   
   $$x-1=2-1=1>0$$
   Si alguna de las soluciones hace que el radicando sea negativo, entonces no es una solución.
6. 
   

Si alguna de las soluciones hace que el radicando sea negativo, entonces no es una solución.

Por si no les ha quedado claro, les adjunto un pequeño vídeo de nuestro querido "unicoos".

Ahora, pasemos con los sistemas:

Esta es una información que he encontrado por google que es muy buena, si les interesa la página, se llama: https://bitacoraed.wordpress.com

• Método de sustitución

  Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes  o .
  
  1. Despejamos la  de la primera ecuación: 
  2. Sustituimos en la otra ecuación:
  3. Resolvemos la ecuación resultante:
     
     
     
  4. Para averiguar el valor de  sustituimos el valor de  en la expresión obtenida el el paso 1
     
     

• Método de igualación

  
  1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
     
     
  2. Igualamos las dos expresiones anteriores
     
  3. Resolvemos la ecuación resultante
     
     
     
  4. Para calcular el valor de x sustituimos  en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
     

• Método de reducción

  Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
  El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
  
  1. Vamos a eliminar la . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
     
  2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
     
     
  3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
     
     
     

Y por último un tipo de sistema que es el no lineal:

Este es el proceso:

-En primer lugar se despeja una de las dos incógnitas

-En segundo lugar ,con la incógnita despejada, se sustituye

-En tercer lugar se opera y se unen "peras con peras y manzanas con manzanas"

-Y se realiza la ecuación de segundo grado mediante su fórmula carácterística

-Por último con una de las incógnitas despejadas se sustituye para averiguar la otra

Inecuaciones:

Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.

Procedimiento para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita.

 • Quitar denominadores, multiplicando ambas partes de la inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (propiedad 2 o 3). 

• Quitar paréntesis. (propiedad distributiva). 

• Transposición de términos, para conseguir una inecuación de una de las formas siguientes: a ⋅ x < b , a ⋅ x ≤ b , a ⋅ x > b , o bien a ⋅ x ≥ b (propiedad 1) • Despejar la incógnita. (Propiedad 2 o 3)

 • Determinar la expresión analítica, por intervalos y gráfica de la solución. 

Bueno, eso es todo, espero que esta publicación les ayude a aprobar mates ;).