Matemáticas

Parábolas

Esta semana hemos estado practicando un tema que es "las parábolas".

¿Qué son? En el ámbito de la matemática, la parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

Ya sabiendo la definición, procedamos a la práctica, en este caso hemos usado Geogebra un programa muy útil que nos ha ayudado a entender este tema. Por ahora sabemos que la parábola madre o canon es x^2 y a partir de ahí se forman todas las demás. A partir de una serie de deslizadores podemos ajustar estas, moviendolas en el eje y o x.

 

Hemos estado "jugando" un poco con el programa y nos hemos dado cuenta que las parábolas están en todos sitios. Como la imagen muestra en todo el cuerpo de este chico hay parábolas cóncavas y convexas, cada una de ellas con una ecuación que nos indica donde y como están situadas. 

¿Qué hacer para que mi botella caiga de pie?

Esta pregunta ha sido estudiada a lo largo de unos meses, hemos utilizado un método que es el ABP (aprendizaje basado en proyectos) que consta de unos pasos a seguir para triunfar.

1ªElegir tema

2ª¿Qué se sabe?:Hacer lista

3ªPlanteo del problema

4ªLista de posibles soluciones

5ªLista de acciones necesarias para resolver el problema

6ªLista de conocimientos necesarios

7ªRedactar informe detallado de dicha solución.

En el primer paso nos han dado a elegir entre dos proyectos, hemos elegido este, el de las botellas

En el segundo paso hemos dividido nuestro grupo de cuatro personas entre expertos e inexpertos, lanzando las botellas.

En el tercer paso buscamos las variables de la botella o del lanzador para buscar la manera más fácil de salir victoriosos.

En el cuarto paso apuntamos las medidas y peso de la botella para poder hacernos una idea y comparar.

En el quinto paso tiramos las botellas y apuntamos los resultados.

En el sexto paso reunimos los datos y miramos la mejor forma para que sea más fácil, siendo ese el conocimiento necesario.

En el tercer paso redactamos este informe.

VARIABLES DE LAS BOTELLAS

- Cantidad de líquido en la botella

- Fuerza con la que tiras la botella

-Tamaño de la botella

-Ángulo con el que tiras la botella

-Número de vueltas que da la botella

-Altura que tiras la botella

-Distancia desde la que se tira

En la cantidad de líquido de las botellas nos guiamos por la intuición sacando la conclusión a través de una pesa que 1/4 de litro de agua es la mejor opción.

En un principio hicimos unas series de 30 lanzamientos a una mesa situada a un metro del lanzador. Los lanzadores estaban situados en frente de la mesa, sentados.

Este es el resultado total de la clase. En el se puede observar que como la palabra lo dice, los expertos son los mejores, dejando claro que la botella, llenada un 25% es la mejor opción para realizar el lanzamiento.

En este gráfico se muestra la puntuación de nuestro grupo (No hemos practicado con la botella llenada un 33%) No hay mucho que decir, se aplican las mismas reglas que la anterior.

A partir de estas gráficas he sacado la conclusión de que uno de los factores que influye y que no he nombrado hasta ahora es la perseverancia, los lanzadores expertos no han sido expertos de la nada sino que a través de la constancia tirando botellas, y no solo en este tema sino también en matemáticas (por ejemplo).

Este proyecto, en general me ha parecido un poco pesado para mí aunque esta forma de aprendizaje (ABP) es muy útil si se utiliza con ganas...

Porcentajes

El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones   
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100) , considerando como unidad la centésima parte del todo.
Ejemplos:
   
Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser fracciones irreductibles.
¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad.
¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ ( 25/100 al simplificar por 5, se reduce a  ¼).

Cálculo de Porcentaje   
El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).
En el cálculo intervienen cuatro componentes:
Cantidad Total             ----             100 %
Cantidad Parcial           ----            Porcentaje Parcial
Ejemplo
(Cantidad total)       $ 1.000  -   equivale al   -     100 % (porcentaje total)
(Cantidad parcial)    $  500    -   equivale al   -      50  %  (porcentaje parcial)
Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :
1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial :
Ejemplo: ¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?

	Cantidad	Porcentaje
Total	80	100
Parcial	x	20

 

Los intervalos en la recta real
El intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b y el intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .L
Los intervalos semiabiertos a la izquierda (o semicerrados a la derecha)son el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
Los intervalos semicerrados a la derecha (o semiabiertos a la izquierda)son el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
Este tipo de intervalos se dan cuando se conoce solo un de los límites de él y el otro es el infinito.

Aprendizaje de trigonometría y números.

       Indice

1.  Razones trigonométricas de un ángulo
2.  Tipos de grados
3.  Planteamiento de problemas
4.  Problemas de doble tangente
5.  Los radianes
6.  Reducción al primer cuadrante
7.  Fórmula fundamental de la Trigonometría
8.  Razones trigonométricas de los mas comunes

Razones trigonométricas.

   Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.


     Tipos de grados
     Sexagesimales : son aquellos que su ángulo mide 90º.
     Centesimales : son aquellos que su ángulo mide 100º.
     Planteamiento de los problemas.
   1º Hacer un dibujo representando al problema
    2º Saber y comprender lo que quiere que resolvamos
    3ºAplicamos las fórmulas y resuelvo con álgebra
  Problemas de doble tangente
  Son muy comunes en la trigonometría y te suelen pedir la altura entre dos triángulos.

   Radianes
   Un radián es el ángulo que se forma cuando enrollamos el radio sobre el círculo:

Reducción al primer cuadrante

 La reducción al primer cuadrante consiste en relacionar cualquier ángulo de cualquier cuadrante con el del primer cuadrante.

Fórmula fundamental de la trigonometría.
  Es esta:sen^2alfa+coseno^2alfa=1 ,mediante la cual obtenemos las siguientes:

 Razones trigonométricas de los ángulos comunes:

Números

Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales “N“, números enteros “Z”, números racionales “Q”, números reales “R” (incluyen a los irracionales) y números complejos “C”. En esta clasificación cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos “C”, que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.

A continuación vamos a ver qué números pertenecen a cada tipo o conjunto y al final del artículo se podrá visualizar un diagrama para asimilar la jerarquía entre ellos.

• Los Números Naturales “N” son todos los números mayores de cero* (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N = [1, 2 , 3, 4, 5…]

• Los Números Enteros “Z” incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos). Es decir: Z = […-2, -1, 0, 1, 2…]

• Los Números Racionales “Q” son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]

• Los Números Reales “R” se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número “∏” y “e“.

• Los Números Complejos “C” incluye todos los números anteriores más el números imaginarios “i“. C = [N, Z, Q, R, I]

En estas dos semanas hemos aprendido a factorizar y a dividir polinomios.

     A mi me ha resultado un poco sencillo pero a medida que voy perdiendo la práctica se me va olvidando .

Para dividir polinomios donde el dividendo y divisor son polinomios con por lo menos dos términos cada uno, se sugiere los siguientes pasos:

1. Represente la división larga, colocando el dividendo dentro de la caja y el divisor fuera de la caja.  
2. Divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para determinar el primer término del cociente.
3. El primer término del cociente obtenido en el paso anterior multiplíquelo a cada término del divisor y colóquelos debajo de los términos del dividendo y asegúrese que están debajo de términos semejantes.
4. Reste el producto anterior de los términos semejantes que aparecen en la línea superior y se obtiene un nuevo polinomio.
5. Repita el proceso con el nuevo polinomio hasta que no se pueda hacer una división
6. Un video para que resulte mas fácil :().

Factorización de polinomios

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

Factorizar por el teorema del resto

El valor que se obtiene al evaluar un polinomio en x=a coincide con el resto de dividir ese polinomio por x-a.

Si dividimos un polinomio P(x) por x-a se obtendrá un cociente C(x) y un resto r.
En toda división el dividendo P(x) es igual al divisor x-a por el cociente C(x) más el resto r , es decir, P(x)=(x-a)·C(x) + r.
Al evaluar el polinomio en el punto se tiene
P(a)=(a-a)·C(a) + r , como a-a =0 entonces P(a) = r
Gracias a este teorema podemos usar la regla de Ruffini para evaluar un polinomio en un punto.